Monte-Carlo-Sampling – Die hohe Kunst der Schaltungsentwicklung

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Häufig führen Entwickler eine bestimmte Anzahl von Simulationen durch: 50, 100 usw. Diese Anzahl basiert auf Erfahrungen. Dabei nimmt der Entwickler an, dass die Ergebnisse die wirkliche Produktions-Ausbeute voraussagen.

Überprüft man das Konfidenzintervall, lässt sich das Risiko verringern, dass ein Problem nicht erkannt wird. Im Beispielfall sollte für die Vergrößerung des unteren Konfidenzintervall-Limits die Anzahl der Samples bei der Monte-Carlo-Analyse erhöht werden. Allerdings erfordert dies oft erheblich mehr Simulationszeit.

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Infolgedessen brauchen Entwickler bessere Verfahren zur Stichprobennahme, welche die Anzahl der Stichproben und die Iterationen bei der Monte-Carlo-Simulation reduzieren, um verlässliche Ergebnisse zu erhalten.

Random Sampling und Low Discrepancy Sampling

Random Sampling ist die Referenz-Methode für Monte Carlo, da sich so die wirklichen physikalischen Prozesse nachbilden lassen, welche die Schwankungen verursachen. Jedoch sind rein zufällige Stichproben ineffizient, da sie viele Iterationen und Simulationen erfordern, damit das Ergebnis konvergiert.

Inzwischen wurden neue Sampling-Methoden entwickelt, um die Effizienz der Monte-Carlo-Analyse durch eine gleichmäßigere Auswahl der Stichproben zu verbessern.

Bild 2 zeigt einen Vergleich der Stichproben, die für zwei Zufallsvariablen ausgewählt wurden, zum Beispiel die N-Kanal-Beweglichkeit und Gate-Oxid-Dicke. Die Grafiken zeigen die zufällig ausgewählten Stichproben und einen neuen Sampling-Algorithmus namens LDS (Low Discrepancy Sampling). Es ist deutlich erkennbar, dass die Stichprobenpunkte bei LDS gleichförmiger verteilt sind.

Die gleichmäßiger verteilten Stichprobenpunkte bedeuten, dass der Stichprobenbereich besser abgedeckt wird und infolgedessen die statistischen Ergebnisse schneller konvergieren. Dies bedeutet wiederum, dass weniger Stichproben erforderlich sind, um die statistischen Ergebnisse richtig abzuschätzen: Ausbeute, Mittelwert und Standardabweichung.

LDS-Sampling ersetzt Latin-Hypercube-Sampling

Die LDS-Sampling-Methode ersetzt das Latin-Hypercube-Sampling, weil es genauso effizient ist und Monte-Carlo-Autostop unterstützt. Monte-Carlo-Autostop ist eine Erweiterung bei Monte-Carlo-Analysen, welche die Simulationszeit optimiert. Mittels statistischer Tests lässt sich bestimmen, ob der Entwurf die geforderten Kriterien erfüllt, im Fall des CAPDAC möchte der Entwickler beispielsweise mit einer Gewissheit von 90% wissen, dass die SNR-Ausbeute größer als 99,73% ist.

Derartige Kriterien muss er vor der Durchführung der Monte-Carlo-Analyse definieren und die Ergebnisse werden nach jeder Iteration der Monte-Carlo-Analyse überprüft. Die Analyse stoppt, sobald eine der beiden folgenden Bedingungen erfüllt ist.

Die Analyse stoppt, wenn die minimale Ausbeute der Clopper-Pearson-Methode größer ist als das Zielkriterium, d.h. die SNR-Ausbeute ist tatsächlich größer als 99,73%. Noch wichtiger ist, dass die Monte-Carlo-Analyse auch dann beendet wird, wenn der Virtuoso ADE Explorer herausfindet, dass selbst die maximale Ausbeute aus der Clopper-Pearson-Methode den Wert von 99,73% nicht überschreiten wird. Dies bedeutet, dass ein Design-Problem vorliegt, das unbedingt behoben werden muss.

Normalerweise tritt dieses Abbruchkriterium bereits nach einigen Iterationen der Monte-Carlo-Simulation auf. Infolgedessen können statistische Zielvorgaben, die die Monte-Carlo-Simulation automatisch beenden, die Simulationszeit deutlich verkürzen.

Abbruchkriterien der Monte-Carlo-Simulation in der Praxis

Wie sieht das in der Praxis aus? Die Darstellung im Bild 3 zeigt als obere Grenze die maximale Ausbeute und als untere Grenze die minimale Ausbeute und die aktuell geschätzte Ausbeute des CAPDAC als Funktion der Anzahl der Iterationen. Die grüne Linie ist die untere Grenze des Konfidenzintervalls.

Nach der 300. Iteration wissen wir, dass der Yield größer als 99,73% ist, und zwar mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%. Das bedeutet, wir können recht sicher sein, dass die CAPDAC-Ausbeute hoch sein wird. Außerdem muss dank der Monte-Carlo-Autostop-Funktion die Analyse nur einmal durchgeführt werden.

Zusammenfassung: Das LDS-Sampling und die Monte-Carlo-Autostop-Funktion verbessern die Monte-Carlo-Methode. Das LDS-Sampling nutzt einen neuen Algorithmus, um die Stichproben für die Monte-Carlo-Analyse effektiver auszuwählen.

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Die Monte-Carlo-Auto-Stop-Funktion nutzt die statistischen Zielvorgaben Ausbeute und Konfidenzniveau, um die Monte-Carlo-Analyse unter bestimmten Bedingungen zu beenden. Durch diese beiden neuen Technologien kann die für die Monte-Carlo-Analyse erforderliche Zeit deutlich reduziert werden.

Literatur

[1] Pelgrom, M.J.M.; Duinmaijer, A.C.J. und A.P.G. Welbers: “Matching properties of MOS transistors,” IEEE Journal of Solid-State Circuits, vol. 24, pp. 1433-1439, Oktober 1989.

[2] Clopper-Pearson-Intervall

* Arthur Schaldenbrand arbeitet als Senior Product Marketing Manager bei Cadence Design Systems in San Jose, U.S.A.

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