Das Oszilloskop und die Fast-Fourier-Transformation (FFT)

| Autor / Redakteur: David Maliniak * / Hendrik Härter

Fast-Fourier-Transformation: Sie lässt sich dann einsetzen, wenn das Messsignal periodisch ist. Das ist beispielsweise bei einem Sinus der Fall.
Fast-Fourier-Transformation: Sie lässt sich dann einsetzen, wenn das Messsignal periodisch ist. Das ist beispielsweise bei einem Sinus der Fall. (Bild: ALEXEY FILATOV - stock.adobe.com)

Mit der Fast-Fourier-Transformation (FFT) lässt sich ein Signal in seine Frequenzanteile zerlegen und analysieren. Hier leistet das Oszilloskop wertvolle Hilfe. Doch worauf muss der Messtechniker achten?

Für Messtechniker ist es eine einfache Aufgabe: Mit einem Oszilloskop soll ein digitales Signal in seine Frequenzanteile zerlegt und anschließend analysiert werden. Zum Einsatz kommt die Fast-Fourier-Transformation (FFT). Die FFT funktioniert allerdings nur dann, wenn das Signal periodisch (Bild 1) ist und im Erfassungsfenster eine gewisse Anzahl von Datenpunkten existieren, die 2n Punkten entsprechen.

Das sind beispielsweise die vielfachen Werte 256, 512, 1024 oder 4096. Ist das gegeben, so lassen sich einige Matrix-Mathematikmethoden verwenden, um die Berechnungszeit für die Frequenzkomponenten zu reduzieren. Zusätzlich gilt für die FFT noch die Anforderung der diskreten Fourier-Transformation, dass die Wellenform repetitiv sein muss.

Die niedrigste Frequenz im Spektrum ist die erste Harmonische und somit gleich 1/Aufnahmefenster. Die höchste Frequenz bezieht sich auf die Abtastrate (nach dem Nyquist-Theorem). Wenn beispielsweise mit 10 GS/s abgetastet wird, ist die höchste, auflösbare Frequenzkomponente die Hälfte oder 5 GHz. Wichtig ist zu beachten, dass die Eingangsverstärkerbandbreite des verwendeten Oszilloskops die höchste nutzbare Frequenz begrenzt, die in einem Signal noch sehen ist. Das Bild 2 zeigt ein Beispiel für eine FFT-Bildschirmabtastung. Das Erfassungsfenster erstreckt sich über 10 ms, so dass die Auflösung 1/0,01 s oder 100 Hz beträgt. Die Abtastrate beträgt 250 MS/s, was die maximale Frequenzkomponente 0,5 x 250 MS/s oder 125 MHz ergibt.

Messdaten müssen sinnvoll abgeschnitten werden

Auf zwei Artefakte sollte man bei einer FFT besonders achtgeben. Zuerst müssen 2n Datenpunkte verwendet werden. Umfasst das Erfassungsfenster eine sehr große Anzahl von Datenpunkten, so lassen sich nicht alle in der FFT verwenden. Das bedeutet: Die Daten müssen abgeschnitten werden. Die Oszilloskope des Herstellers Teledyne LeCroy bieten drei Methoden an: Abschneiden um das Zentrum, Auffüllen mit Nullen an den Enden und Abschneiden am Ende (Bild 3). Es hat sich bewährt, die Daten um die Mitte herum abzuschneiden. Dort liegt in der Regel das Trigger-Ereignis und dort sind auch die brauchbaren Informationen. Das bedeutet, dass nur Daten aus der Mitte des Erfassungsfensters verwenden werden, die in Form von 2n-Datenpunkten vorliegen. Die verbleibenden Daten werden für die FFT verworfen. Liegen im Erfassungsspeicher zwei Millionen Datenpunkte, ist der höchste Wert für die FFT = 220 Datenpunkte, was wiederum 1.048.576 Punkten entspricht.

Jetzt kommt die Fensterfunktion bei der schnellen FFT zum Tragen: Wird in einem Erfassungsfenster eine bestimmte Frequenzkomponente betrachtet, die ein Vielfaches von 1/Aufnahmefenster ist, so ist in diesem Fenster eine genaue integrale Anzahl von Zyklen. Auch die Spannung, die es am Anfang des Fensters vorlag, ist die gleiche Spannung, die es am Ende des Fensters hat. Damit handelt es sich um ein wiederholendes Signal. In einer solchen (idealen) Situation sind die Spektralinformationen sehr rein und frei von sogenanntem Leckage Effekt (Fenster-Effekt). Man erhält bei einer FFT einzelne Sinuskomponenten (Bild 4).

Gleiche Frequenzkomponenten bei verschobenen Fenster

Was wäre im Fall bei den gleichen Frequenzkomponenten, aber das Erfassungsfenster ist etwas verschoben und damit das Signal, dass es nicht bei der gleichen Spannung beginnt und endet (oben Mitte Bild 4)? In Übereinstimmung mit der für FFTs kritischen Annahme, dass sich das Signal wiederholt, wird der Datenwert des einen Fensters an den Datenwert des nächsten Fensters angehangen. Man schafft aber mit dieser Methode eine Diskontinuität zwischen dem Punkt, an dem sich die Spannung am Ende des Datenwerts eines Fensters befindet und dem Punkt, an dem sie sich am Anfang des Datenwerts des nächsten Fensters befindet. Als Ergebnis dieser Diskontinuität kommen künstliche Hochfrequenzkomponenten hinzu, die den anderen Spektralgehalt verunreinigen, obwohl eine reine Sinuswelle vorliegt.

Damit keine falschen Spektralinformationen höherer Ordnung auftreten, wird das Signal leicht verzerrt und um eine Fensterfunktion erweitern. Hintergrund: Die Verzerrung verringert die Startspannung im Erfassungsfenster so, dass sie der Endspannung entspricht. Dabei wird ein Artefakt im Vergleich zu einer reinen Sinuswelle eingefügt, was aber dazu führt, dass die auftretenden Spektralinformationen höherer Ordnung drastisch reduziert werden.

Welche Fensterfunktion verwendet werden sollte

Wenn auf ein gemessenes Signal eine schnelle Fourier-Transformation durchführen will, liegt es oft nicht sauber im Erfassungsfenster des Oszilloskops vor und die Spannung am Anfang und Ende des Fensters ist gleich. Die daraus resultierende Diskontinuität von Fenster zu Fenster führt zu hochfrequenten Artefakten. Eine Lösung für dieses Problem ist das sogenannte Windowing (Anpassen an das Fenster). Das wirft ein weiteres Problem auf: Es gibt eine große Anzahl von Fensterfunktionen, die bei einem Oszilloskop zur Auswahl stehen. Sie alle unterscheiden sich in Bezug auf die resultierende Auflösung und wie viel hochfrequente Leckagen oder Verunreinigungen von einer Frequenzkomponente zur anderen auftreten. Jetzt stellt sich für den Messtechniker die Frage, welche Fensterfunktion soll ich für meine FFTs verwenden?

Bild 5: Beispiele für eine Hamming-Funktion (blau) und eine Hanning-Funktion (rot).
Bild 5: Beispiele für eine Hamming-Funktion (blau) und eine Hanning-Funktion (rot). (Bild: Teledyne LeCroy)

Am Beispiel der Hamming-Fensterfunktion (blau) und einer Hanning-Fensterfunktion (rot) soll die Auswahl deutlich werden (Bild 5). Beide Fensterfunktonen gehören zu den am häufigsten verwendeten. Der erste ist nach Richard Hamming benannt, einem Ingenieur der Bell Laboratories, der auch am Manhattan Project arbeitete und einst ein Büro mit Claude Shannon teilte. Die zweite wurde zwar nach Julius von Hann benannt, einem Vater der modernen Meteorologie, wurde allerdings von R.B. Blackman und John Tukey erfunden.

Das Bild 6 zeigt die beiden unterschiedlichen Fensterfunktionen. Sofern es keinen anderen wichtigen Grund gibt, bietet das Hanning-Fenster die beste Balance zwischen guter Auflösung und niederfrequenter Leckage. Es ist damit immer ein guter Ausgangspunkt, um mit den eigenen FFT-Untersuchungen zu beginnen.

Vertikale Skala: Umrechnung von dBm in eine Spannung

Bild 7: Beispiel einer laufenden FFT-Analyse mit einem Oszilloskop.
Bild 7: Beispiel einer laufenden FFT-Analyse mit einem Oszilloskop. (Bild: Teledyne LeCroy)

Als Beispiel dient eine laufende FFT (Bild 7): Betrachtet wird hier ein Erfassungsfenster von 10 ms und eine zu erwartende Auflösung von 100 Hz. Die tatsächliche Fenstergröße nach der Datenbegrenzung ist kleiner und die tatsächliche Auflösung ist größer. Erfasst wurden etwa 2,5 MPoints, aber nach der Datenbegrenzung kommen nur etwa 2,1 MPoints zum Einsatz. Die vertikale Teilung kann manchmal verwirrend sein, da sie in dBm angegeben ist. Da wir allerdings die Spannung betrachten, muss der in dBm angegebene Leistungspegel in eine Spannung umgerechnet werden.

Umrechnung dBm in Milliwatt

Die zu berechnende Leistung ist diejenige Leistung, welche eine Spannung über einen 50-Ohm-Widerstand erzeugen würde (Bild 8). Da dBm die Leistung in Milliwatt angibt, muss der Wert mit dem Faktor 1000 multipliziert werden, um die Leistung zu erhalten.

Die Leistung in dBm wird nach der unteren Gleichung im Bild 9 berechnet. Im Allgemeinen wird die vertikale Skala in der einen oder anderen Form in dB angezeigt.

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* David Maliniak ist für das Technical Marketing Communications bei Teledyne LeCroy verantwortlich.

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